РЕШУ ЦТ — математика

Варианты заданий

1.  Задание № 52 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011

Сложность: III

Классификатор алгебры: 4\.2\. Неравенства первой и второй степени относительно показательных функций

Показательные неравенства

Найдите сумму целых решений неравенства $2 в степени левая круглая скобка 3x плюс 4 правая круглая скобка минус 10 умножить на 4 в степени x плюс 2 в степени x \leqslant0.$

Решение. Решим неравенство:

$2 в степени левая круглая скобка 3x плюс 4 правая круглая скобка минус 10 умножить на 4 в степени x плюс 2 в степени x \leqslant0$ $равносильно$ $2 в степени левая круглая скобка 3x плюс 4 правая круглая скобка минус 10 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени x меньше или равно 0$ $равносильно$ $16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка минус 10 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени x меньше или равно 0$ $равносильно$ $2 в степени x левая круглая скобка 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 10 умножить на 2 в степени x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0$

$16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 10 умножить на 2 в степени x плюс 1\leqslant0.$

Сделаем замену $2 в степени x =t,$ тогда получим:

$16t в квадрате минус 10t плюс 1\leqslant0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби меньше или равно t меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$

Вернемся к исходной переменной:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби \leqslant2 в степени x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка \leqslant2 в степени x \leqslant2 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка равносильно минус 3 меньше или равно x меньше или равно минус 1.$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби \leqslant2 в степени x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка \leqslant2 в степени x \leqslant2 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно минус 3 меньше или равно x меньше или равно минус 1.$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби \leqslant2 в степени x меньше или равно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка \leqslant2 в степени x \leqslant2 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно минус 3 меньше или равно x меньше или равно минус 1.$

Следовательно, целыми решениями являются $минус 3, минус 2, минус 1.$ Их сумма равна −6.

Ответ: −6.

Ответ: -6

-6

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011

Сложность: III

Классификатор алгебры: 4\.2\. Неравенства первой и второй степени относительно показательных функций

Методы алгебры: Замена переменной

2.  Задание № 292 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011

Сложность: III

Показательные неравенства

Найдите сумму целых решений неравенства $2 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 9 умножить на 4 в степени x плюс 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0.$

Решение. Решим неравенство:

$2 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 9 умножить на 4 в степени x плюс 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка \leqslant0$ $равносильно$ $2 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 9 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка меньше или равно 0$ $равносильно$ $2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка минус 9 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 4 умножить на 2 в степени x меньше или равно 0$ $равносильно$ $2 в степени x левая круглая скобка 2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 9 умножить на 2 в степени x плюс 4 правая круглая скобка меньше или равно 0$

$2 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 9 умножить на 2 в степени x плюс 4\leqslant0.$

Сделаем замену $2 в степени x =t,$ тогда получим:

$2t в квадрате минус 9t плюс 4\leqslant0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно t\leqslant4.$

Вернемся к исходной переменной:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \leqslant2 в степени x \leqslant2 в квадрате равносильно 2 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \leqslant2 в степени x \leqslant2 в квадрате равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2.$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \leqslant2 в степени x \leqslant2 в квадрате равносильно 2 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \leqslant2 в степени x \leqslant2 в квадрате равносильно$
$равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2.$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \leqslant2 в степени x \leqslant2 в квадрате равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \leqslant2 в степени x \leqslant2 в квадрате равносильно$
$равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 2.$

Следовательно, целыми решениями являются $минус 1, 0, 1, 2.$ Их сумма равна 2.

Ответ: 2.

Ответ: 2

292

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011

Сложность: III

3.  Задание № 352 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011

Сложность: III

Показательные неравенства

Найдите сумму целых решений неравенства $5 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 26 умножить на 25 в степени x плюс 5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant0.$

Решение. Решим неравенство:

$5 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 26 умножить на 25 в степени x плюс 5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка \leqslant0$ $равносильно$ $5 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 26 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0$ $равносильно$ $5 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка минус 25 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 5 умножить на 5 в степени x меньше или равно 0$ $равносильно$ $5 в степени x левая круглая скобка 5 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 26 умножить на 5 в степени x плюс 5 правая круглая скобка меньше или равно 0$

$5 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 26 умножить на 5 в степени x плюс 5\leqslant0.$

Сделаем замену $2 в степени x =t,$ тогда получим:

$5t в квадрате минус 26t плюс 5\leqslant0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби меньше или равно t\leqslant5.$

Вернемся к исходной переменной:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби \leqslant5 в степени x \leqslant5 в степени 1 равносильно 5 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \leqslant5 в степени x \leqslant5 в степени левая круглая скобка 1 правая круглая скобка равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1.$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби \leqslant5 в степени x \leqslant5 в степени 1 равносильно 5 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \leqslant5 в степени x \leqslant5 в степени левая круглая скобка 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1.$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби \leqslant5 в степени x \leqslant5 в степени 1 равносильно$
$равносильно 5 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \leqslant5 в степени x \leqslant5 в степени левая круглая скобка 1 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 1.$

Следовательно, целыми решениями являются $минус 1, 0, 1.$ Их сумма равна 0.

Ответ: 0.

Ответ: 0

352

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011

Сложность: III

4.  Задание № 382 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011

Сложность: III

Показательные неравенства

Найдите сумму целых решений неравенства $6 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 7 умножить на 36 в степени x плюс 6 в степени x \leqslant0.$

Решение. Решим неравенство:

$6 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 7 умножить на 36 в степени x плюс 6 в степени x \leqslant0$ $равносильно$ $6 в степени левая круглая скобка 3x плюс 1 правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 6 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 0$ $равносильно$ $6 умножить на 6 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 6 в степени x меньше или равно 0$ $равносильно$ $6 в степени x левая круглая скобка 6 умножить на 6 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 1 правая круглая скобка меньше или равно 0$

$6 умножить на 6 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 7 умножить на 6 в степени x плюс 1\leqslant0.$

Сделаем замену $6 в степени x =t,$ тогда получим:

$6t в квадрате минус 7t плюс 1\leqslant0 равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби меньше или равно t\leqslant1.$

Вернемся к исходной переменной:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби \leqslant6 в степени x \leqslant6 в степени 0 равносильно 6 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \leqslant6 в степени x \leqslant6 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 0.$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби \leqslant6 в степени x \leqslant6 в степени 0 равносильно 6 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \leqslant6 в степени x \leqslant6 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 0.$ $дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби \leqslant6 в степени x \leqslant6 в степени 0 равносильно$
$равносильно 6 в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка \leqslant6 в степени x \leqslant6 в степени левая круглая скобка 0 правая круглая скобка равносильно$
$равносильно минус 1 меньше или равно x меньше или равно 0.$

Следовательно, целыми решениями являются $минус 1, 0.$ Их сумма равна −1.

Ответ: −1.

Ответ: -1

382

-1

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011

Сложность: III

5.  Задание № 412 Добавить в вариант

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011

Сложность: III

Показательные неравенства

Найдите сумму целых решений неравенства $2 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка минус 10 умножить на 4 в степени x плюс 2 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \leqslant0.$

Решение. Решим неравенство:

$2 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка минус 10 умножить на 4 в степени x плюс 2 в степени левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка \leqslant0$ $равносильно$ $2 в степени левая круглая скобка 3x правая круглая скобка минус 10 умножить на 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка плюс 16 умножить на 2 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка меньше или равно 0$ $равносильно$ $2 в степени x левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 10 умножить на 2 в степени x плюс 16 правая круглая скобка меньше или равно 0$

$2 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка минус 10 умножить на 6 в степени x плюс 16\leqslant0.$

Сделаем замену $2 в степени x =t,$ тогда получим:

$t в квадрате минус 10t плюс 16\leqslant0 равносильно дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби leqslant t\leqslant8.$

Вернемся к исходной переменной:

$дробь: числитель: 2, знаменатель: конец дроби leqslant2 в степени x \leqslant8 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 1 правая круглая скобка \leqslant2 в степени x \leqslant2 в кубе равносильно 1 меньше или равно x меньше или равно 3.$

Следовательно, целыми решениями являются $1, 2, 3.$ Их сумма равна 6.

Ответ: 6.

Ответ: 6

412

Источник: Централизованное тестирование по математике, 2011

Сложность: III

Ключ

№ п/п	№ задания	Ответ
1	52	-6
2	292	2
3	352	0
4	382	-1
5	412	6